Прямые в Плоскости и Пространстве Презентация

Прямые в Плоскости и Пространстве Презентация.rar
Закачек 3458
Средняя скорость 6157 Kb/s
Скачать

Прямые в Плоскости и Пространстве Презентация

Презентация была опубликована 5 лет назад пользователемt-sukhova.narod.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.» — Транскрипт:

1 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

2 Взаимное расположение прямых в пространстве Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: — прямые пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку — прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются — прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости

3 Аксиомы стереометрии А1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, при том только одна.

4 А 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Свойство, выраженное в аксиоме А 2, используется для проверки « ровности » чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный ( прямолинейный ), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких — то местах между ними и поверхностью стола образуется просвет.

5 А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

6 Параллельность прямой и плоскости Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно А2 вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит плоскости б) прямая и плоскость имеют одну общую точку, т. е. пересекаются в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

7 Признак или теорема о параллельности прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

8 Параллельность плоскостей Итак, мы знаем что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома А3). Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки. Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола.

9 Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство Рассмотрим две плоскости и β. В плоскости лежат пересекающиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β- прямые a 1 и b 1, причем а а 1 и b 1. Докажем, что β. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а β и b β. Допустим, что плоскости и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой. Отсюда следует (по свойству 1 0 ) что прямые а и с параллельны. Но плоскость проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b с. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и b, параллельны прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и, следовательно, β. Теорема доказана..

Плоскость и прямая в пространстве Лекция 10

Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Пусть точки и лежат на плоскости . Тогда и, значит, их скалярное произведение равно нулю: это уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

общее уравнение плоскости Из предыдущего уравнения легко получить общее уравнение плоскости

Частные случаи общего уравнения 1. плоскость проходит через начало координат. 2. плоскость параллельна оси OX. 3. плоскость параллельна плоскости XOY. 4. Плоскость проходит через ось OX. 5. плоскость является плоскостью XOY. Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.

Уравнение в отрезках Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые Введя соответствующие обозначения , имеем .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть точки , , лежат на плоскости. Точка — текущая точка плоскости.

Эти векторы компланарны, т.к. лежат в одной плоскости. Следовательно их смешанное произведение равно нулю. Получаем уравнение:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Взаимное расположение плоскостей

Угол между плоскостями Даны две плоскости и : Тогда:

Условие перпендикулярности плоскостей Если плоскости перпендикулярны друг к другу, то соответственно перпендикулярны их нормальные векторы

Условие параллельности плоскостей Если плоскости параллельны друг к другу, то соответственно параллельны их нормальные векторы:

Расстояние от точки до плоскости

Пример Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение В уравнение плоскости, проходящей через три точки, подставим координаты данных точек: Раскладывая определитель по элементам первой строки, имеем .

Прямая в пространстве.

Канонические уравнения прямой. -направляющий вектор прямой, -точка прямой. Тогда

Параметрические уравнения (вывести самостоятельно) t-переменный параметр.

Уравнение прямой, проходящей через две точки Точки и лежат на прямой. Вывод уравнения сделать самостоятельно.

Общее уравнение прямой Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей

каждое уравнение отдельно- это уравнение плоскости, которые пересекаются по прямой.

Пример Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид

Сложив уравнения, получим Тогда из второго уравнения Точка на прямой А(1; -2; 0).

Найдем направляющий вектор этой прямой: Получим канонические уравнения прямой

Взаимное расположение прямых в пространстве

Угол между прямыми Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами

Параллельность прямых Если то

Перпендикулярность прямых Если то

Взаимное расположение прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость

Угол между прямой и плоскостью -нормаль плоскости П, -направляющий вектор прямой .

Условие параллельности прямой и плоскости Если то

Условие перпендикулярности прямой и плоскости Если то

Точка пересечения прямой и плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости Запишем параметрические уравнения прямой и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости.

Получим уравнение вида относительно параметра t. Выразив t из этого уравнения и подставив в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

Пример Найти точку пересечения прямой и плоскости

Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно заданной плоскости –х+у-1=0.

Пример Показать, что прямая лежит в плоскости Решение. Используем параметрические уравнения прямой

Подставим в уравнение плоскости: — Получили равенство, верное при любых Следовательно, прямая лежит в плоскости.

Пример Найти уравнение перпендикуляра к плоскости , проходящего через точку А(2;-1:3), и определить координаты основания этого перпендикуляра.

Теоретический материал по геометрии по темам «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.»

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

определение признак определение признак Две прямые Прямая и плоскость Две плоскости

Определение параллельности двух прямых Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Признак параллельности двух прямых Если прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Определение параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая не лежащая в плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.

Определение параллельности двух плоскостей. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали.

Признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Определение перпендикулярности двух прямых. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Определение перпендикулярности двух плоскостей. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 .

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.


Статьи по теме