Уравнение Прямой на Плоскости Презентация

Уравнение Прямой на Плоскости Презентация.rar
Закачек 992
Средняя скорость 8161 Kb/s
Скачать

Уравнение Прямой на Плоскости Презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемtver-math.narod.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угол между.» — Транскрипт:

1 Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угол между двумя прямыми Расстояние от точки до прямой Биссектриса углов между прямыми Деление отрезка в заданном отношении

2 Общее уравнение прямой М 0 (х 0 ; у 0 ) Уравнение вида: Теорема с произвольными коэффициентами А; В; С такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой. Если точка М 0 (х 0 ; у 0 ) принадлежит прямой, то общее уравнение прямой превращается в тождество: Пусть задана прямая: Вектор будет ортогонален этой прямой. Доказательство: Пусть некоторая точка М 0 (х 0 ; у 0 ) принадлежит прямой: (1) (2)

3 Общее уравнение прямой Найдем разность уравнений (1) и (2): Пусть точки М 0 (х 0 ; у 0 ) и М (х; у ) лежат на данной прямой. (3) М 0 (х 0 ; у 0 ) М (х; у ) Рассмотрим векторы: и Равенство (3) представляет собой скалярное произведение этих векторов, которое равно нулю: Таким образом, вектор перпендикулярен прямой и называется нормальным вектором прямой. Равенство (3) также является общим уравнением прямой

4 Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты А, В, и С отличны от нуля. В противном случае уравнение называется неполным. 1) Виды неполных уравнений: y 0 х 2) 3) 4) 5)

5 Уравнение прямой в отрезках Рассмотрим полное уравнение прямой: Обозначим:Получим: Уравнение в отрезках y 0 х b a Уравнение в отрезках используется для построения прямой, при этом a и b – отрезки, которые отсекает прямая от осей координат.

6 Каноническое уравнение прямой Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 (х 0 ; у 0 ) и параллельно заданному вектору М 0 (х 0 ; у 0 ) М (х; у ) Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на прямой, только в том случае, если векторы и коллинеарны. По условию коллинеарности получаем: Каноническое уравнение прямой

7 Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от друга точки: М 1 (х 1 ; у 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ). М 1 (х 1 ; у 1 ) М 2 (х 2 ; у 2 ) Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом уравнении можно взять вектор: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

8 Уравнение прямой с угловым коэффициентом y 0 х Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий вектор, то угловой коэффициент k этой прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX. Уравнение прямой с угловым коэффициентом = b

9 Пример Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий вектор: Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом. Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с осью OX. 1. Каноническое уравнение: 2. Общее уравнение:

10 Пример 3. Уравнение в отрезках: 4. Уравнение с угловым коэффициентом: y 0 х М b a

11 Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями: Угол между этими прямыми определяется как угол между нормальными векторами к этим прямым:

12 Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями: Угол между этими прямыми определяется как угол между направляющими векторами к этим прямым:

13 Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: y 0 х

14 Расстояние от точки до прямой Пусть необходимо найти расстояние от точки М 0 (х 0 ; у 0 ) до прямой, заданной общим уравнением: М 0 (х 0 ; у 0 ) М 1 (х 1 ; у 1 ) Пусть М 1 (х 1 ; у 1 ) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М 0 на прямую L. Найдем скалярное произведение векторов и Найдем скалярное произведение в координатной форме:

15 Расстояние от точки до прямой Точка М 1 (х 1 ; у 1 ) принадлежит прямой L, следовательно:

16 Биссектриса углов между прямыми Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями: Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе угла между прямыми, то расстояние от точки М до прямой L 1 равна расстоянию до прямой L 2 : M(x; y)

0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В к» title=»Деление отрезка в заданном отношении Разделить отрезок М 1 М 2 в заданном отношении λ > 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В к» class=»link_thumb»> 17 Деление отрезка в заданном отношении Разделить отрезок М 1 М 2 в заданном отношении λ > 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В координатной форме: 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В к»> 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В координатной форме:»> 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В к» title=»Деление отрезка в заданном отношении Разделить отрезок М 1 М 2 в заданном отношении λ > 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M2M2 M1M1 M или Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Найдем координаты точки М. В к»>

18 Пример Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6) Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины А.А. 1. Уравнение высоты: А В С Н (ВС): (АН):

19 Пример 2. Уравнение медианы: А В С М т. М:

20 Пример 4. Уравнение биссектрисы: А В С К (АВ): (АС):

21 Пример Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно выполняться условие: или 1) 2)

Успейте воспользоваться скидками до 70% на курсы «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Прямая в пространстве Взаимное положение прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости

Прямая в пространстве Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении Пусть точка принадлежит прямой , а направление совпадает с вектором . Возьмем произвольную точку . Тогда и по свойствам векторов , где – параметр. Равенство – векторное уравнение прямой. Представим его в координатной форме: – параметрическое уравнение прямой. Выразим . Тогда , приравняем эти выражения, получим каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой , проходящей через две точки Пусть точки и , которые принадлежат прямой . Примем вектор за , направляющий вектор, а точку за точку и подставим их в каноническое уравнение прямой. Тогда . Пример: Прямая, проходящая через точку с направляющим вектором . Взаимное расположение двух прямых в пространстве Рассмотрим две прямые , заданные точками и с направляющими векторами . Тогда уравнения этих прямых соответственно

Данные прямые могут быть скрещивающими или лежать на одной плоскости. Рассмотрим векторы . Составим смешанное произведение этих векторов: Тогда, если прямые скрещивающиеся, данные три вектора не могут лежать в одной плоскости, то есть через них нельзя провести плоскость и . Если же прямые лежат в одной плоскости, то есть данные векторы компланарны, то . Во втором случае может быть три случая: Прямые будут параллельны, тогда их направляющие векторы коллинеарны. , по свойствам векторов:

Прямые перпендикулярны, тогда их направляющие векторы перпендикулярны, то по свойствам векторов скалярное произведение равно нулю. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а именно . Прямые будут совпадать, если все три вектор будут коллинеарными, другими словами все три строки определителя будут пропорциональны. Взаимное расположение прямой и плоскости Пусть плоскость задана общим уравнением , прямая параметрическим уравнением: . .

Подставим из уравнения прямой в уравнение плоскости. Тогда Если , то . Подставим полученное значение параметра в уравнение прямой, получим выраженные единственным образом значения , которые определяют координаты единственной точки, являющейся точкой пересечения прямой и плоскости. Таким образом, – условие пересечения прямой и плоскости. Если и , то получаем уравнение – любое число, другими словами имеем бесконечное число решений, то есть бесконечное число точек пересечения прямой плоскости, получается ,что прямая лежит на плоскости. Если и , то , получаем противоречие, следовательно, нет решений и нет общих точек, то есть прямая и плоскость параллельны.

Угол между прямой и плоскостью Пусть плоскость задана общим уравнением , а прямая каноническим уравнением: и пересекает данную плоскость. Возможны два варианта: а) Рис. 1 б) – угол между прямой и плоскостью, – угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Видно, что в случае а) (острый угол), а в случае б) (тупой угол). Объединив, эти формулы получим: .

Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Так как мы будем рассматривать прямую на плоскости, то ее можно представить как пересечение плоскости с координатной плоскостью с уравнением z=0, то общее уравнение прямой примет вид: Тогда – общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи общего уравнения прямой , то есть прямая проходит через начало координат. , то есть прямая параллельна оси . , то есть прямая параллельна оси . , то есть прямая совпадает с осью . , то есть прямая совпадает с осью .

Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть и – точки через которые проходит заданная прямая. Вспомним соответствующее уравнение прямой в пространстве: Тогда отбрасывая координаты z, получим , где – направляющий вектор. Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая проходит через точки и . Представим, что и подставим в уравнение прямой, проходящей через две точки. Тогда или . Пример: .

Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении Пусть направляющий вектор задан, как . Из уравнения прямой, проходящей через две точки получим Таким образом, получили уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении: , где . Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая проходит через точку , то есть . Тогда, подставив в предыдущее уравнение данные значения, получим , где – начальная ордината. Экономический смысл начальной ординаты: уравнение вида описывает процесс накопления капитала, где – время. Тогда при , получаем что – начальный капитал.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости Рассмотрим две прямые и заданные общими уравнениями. По аналогии с плоскостью, прямые параллельны, если их нормальные векторы параллельны. Тогда условие параллельности прямых можно записать как или , так как . Прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны. Условие перпендикулярности можно записать как или . Угол между прямыми равен углу между нормальными векторами, а следовательно Прямые будут совпадать, если

Задания для самостоятельной работы. 1. Ответить на вопросы: Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии? Как найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями? Что называется порядком алгебраической линии? Как расположена прямая относительно декартовой системы координат, если в ее уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) одна из координат и свободный член? Можно ли найти угловой коэффициент прямой, не составляя ее уравнения, если известны две ее точки? Если да, то как это сделать? Как найти расстояние от данной точки до прямой, заданной уравнением общего вида? Напишите уравнения осей декартовой системы координат. 2. Написать каноническое уравнение прямой 3. Найти точку пересечения прямой и плоскости 4. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1), В(-5; 2) и С(-2; 3). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1;-1) и образующей с осью Оу угол 60°.

Данная презентация-сопровождение предназначена для чтения лекций в ВУЗах. Рассчитана на 2-3 академических часа.

В презентациях отображается основной теоретический материал, предлагаются примеры и задания для самостоятельного выполнения.

Создание подобных презентаций дает ряд преимуществ преподавателю при проведении лекций:

1. возможность использования готовых лекций, а также составление своих собственных, путем редактирования или дополнения уже имеющихся;

2. сокращение времени подготовки преподавателя к занятиям;

3. возможность организации дифференцированного подхода к обучению, в том числе и организация обучения студентов, находящихся на индивидуальном обучении (по причине болезни), или при опережающем обучении;

4. презентации помогают углубить восприятие материала и стимулируют мыслительную деятельность учащихся. Сочетание рассказа преподавателя с показом демонстрационного материала способствует развитию аудиовизуальной памяти, а также систематизации знаний. На основе презентаций у студентов формируются и закрепляются умения по составлению опорных схем и конспектов в рабочей тетради;

5. мультимедийное оформление слайдов, композиционный подбор материала способствуют развитию эстетического восприятия учащихся, стимулируют познавательную активность.

6. слайды содержат не только иллюстрации, но и трёхмерные модели, позволяющие студентам познакомиться с понятиями объёмных фигур в пространстве.

Вывод. Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени с двумя переменными х и у, и всякое уравнение вида ax+by+c=0, где a, b, c – действительные числа, причем a и b одновременно не равны нулю, является уравнением прямой.

Слайд 19 из презентации «Уравнение прямой»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Уравнение прямой.ppt» можно в zip-архиве размером 2137 КБ.

Похожие презентации

«Плоскости в пространстве» — Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Аналитическая геометрия. 5. Коэффициенты A=B=0 (рис. 5) 6. Коэффициенты A=C=0 (рис. 6) 7. Коэффициенты B=C=0 (рис. 7). 8. Коэффициенты A=B=D=0 9. Коэффициенты A=C=D=0 10. Уравнения плоскости. 1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

«Перпендикулярность плоскостей» — Доказательство. Укажите пары перпендикулярных плоскостей в каждой из фигур и обоснуйте. Докажем, что перпендикулярность ? и ? не зависит от выбора ?. Пользуясь доказанным признаком, обоснуйте перпендикулярность плоскостей: Теорема. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей. Докажите, что прямая b лежит в плоскости ?.

«Параллельные плоскости» — Две плоскости в пространстве называются параллельными, если. Сформулировать и доказать признак параллельности плоскостей. Ввести понятие параллельных плоскостей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали? Подведение итогов. Средняя линия трапеции лежит в плоскости. Параллельные плоскости в пространстве.

«Угол между прямой и плоскостью» — В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABD1. Угол между прямой и плоскостью. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ABC. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC.

«Уравнение плоскости» — Тема: Плоскость. Замечание. Исследование общего уравнения плоскости. ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. 4. Расстояние от точки до плоскости. 3. Взаимное расположение плоскостей. ?1: by+cz = 0 (пересечение с плоскостью oyz) ?2: ax+by = 0 (пересечение с плоскостью oxy). 1) Пусть плоскости параллельны:

«Урок координатная плоскость» — Задачи урока: Вопросы: Цель урока: закрепление знаний, умений и навыков по теме: «координатная плоскость». Нарисовать любую картинку на координатной плоскости и выписать координаты всех точек. Построить фигуру по заданным точкам: (-2;2), (2;2), (-2;2), (-2;-2), (-2;2), (0;2), (2;2). Практическая работа.


Статьи по теме